Question

已知椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

3

，且经过点（1，

6

2

），抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F与椭圆C₁的一个焦点重合．
（1）过F的直线与抛物线C₂交于M，N两点，过M，N分别作抛物线C₂的切线l₁，l₂，求直线l₁，l₂的交点Q的轨迹方程；
（2）从圆O：x²+y²=5上任意一点P作椭圆C₁的两条切线，切点为A、B，试问∠APB的大小是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用椭圆与抛物线的标准方程及其性质可得方程．设直线MN的方程为：y=kx+1，与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用导数的几何意义可得切线的方程，联立解得即可．
（2）当两条切线的斜率都存在且不为0时，设P（m，n），切线方程为y-n=k（x-m），则m²+n²=5．把切线方程与椭圆方程联立可得△=0，进而得出k₁k₂+1=0，即可得出．

解答： 解：（1）∵椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

3

，且经过点（1，

6

2

），
∴

c a = 3 3 6 4a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，解得c=1，a²=3，b²=2．
∴椭圆C₁的方程为

y2

3

+

x2

2

=1．
∵抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F与椭圆C₁的一个焦点重合．
∴F（0，1），可得抛物线的方程为x²=4y．
设直线MN的方程为：y=kx+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立

y=kx+1 x2=4y

，化为x²-4kx-4=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
由x²=4y可得y′=

1

2

x．
∴切线l₁的方程为：y-

x 2 1

4

=

1

2

x1(x-x1)，化为y=

1

2

x1x-

1

4

x

2 1

．
切线l₂的方程为：y-

x 2 2

4

=

1

2

x2(x-x2)，化为y=

1

2

x2x-

1

4

x

2 2

．
联立解得x=

x1+x2

2

=2k，y=

1

4

x₁x₂=-1．
∴直线l₁，l₂的交点Q的轨迹方程为y=-1．
（2）当两条切线的斜率都存在且不为0时，设P（m，n），
切线方程为y-n=k（x-m），则m²+n²=5．
联立

y=kx+n-km 2y2+3x2=6

，
化为（2k²+3）x²+4k（n-km）x+2（n-km）²-6=0，
∴△=0，
化为（2-m²）k²+2mnx+3-n²=0，
∴k₁k₂=

3-n2

2-m2

，
∴k₁k₂+1=

5-m2-n2

2-m2

=0，
可得∠APB=90°．
当条切线的斜率不存在或为0时，即可得出∠APB=90°．
综上可得：从圆O：x²+y²=5上任意一点P作椭圆C₁的两条切线，切点为A、B，∠APB=90°为定值．

点评：本题综合考查了椭圆与抛物线及圆的标准方程及其性质可得方程、直线与椭圆抛物线相交及相切转化为方程联立得到根与系数的关系、及其△与0的关系，考查了导数的几何意义求切线的斜率，考查了推理能力与计算能力，考查了分类讨论的思想方法，属于难题．