Question

15．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，满足关系式2S_n=3a_n-3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式是b_n=$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{n}（lo{g}_{3}{{a}_{n}}^{2}+1）}$，求证对一切的正整数n都有：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，有2S_n-1=3a_n-1-3，2S_n=3a_n-3，两式相减，得a_n=3a_n-1（n≥2），由此能求出a_n=3^n．
（2）把{a_n}的通项公式代入b_n=$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{n}（lo{g}_{3}{{a}_{n}}^{2}+1）}$，得当n≥2时，$\frac{1}{n（2n+1）}=\frac{2}{2n（2n+1）}＜\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，即可．

解答 解：（1）当n≥2时，有2S_n-1=3a_n-1-3，①
又2S_n=3a_n-3，②
②-①得，2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1，
即a_n=3a_n-1（n≥2）．
又当n=1时，2a₁=3a₁-3，
∴a₁=3．
故数列{a_n}为等比数列，且公比q=3．
∴a_n=3ⁿ．
数列{a_n}的通项公式a_n=3ⁿ；
（2）证明：∵log₃a_n=n，∴b_n=$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{n}（lo{g}_{3}{{a}_{n}}^{2}+1）}$=$\frac{1}{n（2n+1）}$
当n≥2时，$\frac{1}{n（2n+1）}=\frac{2}{2n（2n+1）}＜\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，${b}_{1}=\frac{1}{3}$
正整数n都有：b₁+b₂+…+b_n＜b₁$+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了 递推式的应用及简单的放缩再“裂项求和”求数列的前n项和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．