题目内容
20.已知等差数列{an}的首项为c,公差为d,等比数列{bn}的首项为d,公比为c,其中c,d∈Z,且a1<b1<a2<b2<a3.
(1)求证:0<c<d,并由b2<a3推导c的值;
(2)若数列{an}共有3n项,前n项的和为A,其后的n项的和为B,再其后的n项的和为C,求$\frac{{B}^{2}-AC}{(A-C)^{2}}$的比值.
(3)若数列{bn}的前n项,前2n项、前3n项的和分别为D,G,H,试用含字母D,G的式子来表示H(即H=f(D,G),且不含字母d)
分析 (1)根据等差、等比数列的通项公式可以推知0<c<d,结合已知条件a1<b1<a2<b2<a3列出不等式组:$\left\{\begin{array}{l}{0<c<d}\\{d<cd}\\{cd<c+2d<3d}\end{array}\right.$,通过解该不等式组推导c的值;
(2)根据等差数列的通项公式和性质推知A=Sn,B=S2n-Sn,C=S3n-S2n,易得B、A+C=2B,结合代数式的变形来求$\frac{{B}^{2}-AC}{(A-C)^{2}}$的值;
(3)根据等比数列的前n项和公式分别表示出D、G、H,然后找到它们的数量关系.
解答 解:(1)已知a1=c,a2=c+d,a3=c+2d,b1=d,b2=dc,
由b1<a2可知c>0,因此0<c<d,
由a1<b1<a2<b2<a3可得:c<d<c+d<cd<c+2d,且c,d∈Z,
因此可得不等式组:$\left\{\begin{array}{l}{0<c<d}\\{d<cd}\\{cd<c+2d<3d}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{0<c}\\{1<c}\\{c<3}\end{array}\right.$⇒1<c<3.
又因为c∈Z,
因此c=2;
(2)数列{an}的通项为数列an=2+(n-1)d,Sn=$\frac{d}{2}$n2+(2-$\frac{d}{2}$)n,A=Sn,B=S2n-Sn,C=S3n-S2n,
B=$\frac{d}{2}$(4n2-n2)+(2-$\frac{d}{2}$)(2n-n)=$\frac{d}{2}$•3n2+(2-$\frac{d}{2}$)n,
可得A+C=$\frac{d}{2}$n2+(2-$\frac{d}{2}$)n+$\frac{d}{2}$(9n2-4n2)+(2-$\frac{d}{2}$)(3n-2n)=3d•n2+(2-$\frac{d}{2}$)•2n,
可得A+C=2B,
因此$\frac{{B}^{2}-AC}{(A-C)^{2}}$=$\frac{(A+C)^{2}-4AC}{4(A-C)}$=$\frac{1}{4}$;
(3)数列{bn}的通项为bn=d•2n-1.
因此D=$\frac{d({2}^{n}-1)}{2-1}$=d(2n-1),G=d(22n-1),H=d(23n-1).
所以$\left\{\begin{array}{l}{G=({2}^{n}+1)•D}\\{H=({2}^{3n}+{2}^{n}+1)•D}\end{array}\right.$,
因此H=D•($\frac{G}{D}$-1)2+G=$\frac{{G}^{2}}{D}$+2D-G.
点评 本题考查等比、等差数列的通项公式及应用,数列的求和,考查计算能力,属于难度较大的题目.
| 月份 | 用气量 | 煤气费 |
| 一月份 | 4m3 | 4元 |
| 二月份 | 25m3 | 14元 |
| 三月份 | 35m3 | 19元 |
| 分组 | 频数 |
| [0,0.5) | 4 |
| [0.5,1) | 8 |
| [1,1.5) | 15 |
| [1.5,2) | 22 |
| [2,2.5) | 25 |
| [2.5,3) | 14 |
| [3,3.5) | 6 |
| [3.5,4) | 4 |
| [4,4.5) | 2 |
| 合计 | 100 |
(2)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准,若超出标准加倍收费,当地政府解释说,85%以上的居民不超出这个标准,这个解释对吗?为什么?
| A. | 命题P使用了逻辑联结词“或”,是假命题 | |
| B. | 命题P使用了逻辑联结词“且”,是假命题 | |
| C. | 命题P使用了逻辑联结词“非”,是假命题 | |
| D. | 命题P使用了逻辑联结词“或”,是真命题 |