Question

如图．A₁，A₂，…A_m-1（m≥2）将区间[0，l]m等分，直线x=0，x=1，y=0和曲线y=e^x所围成的区域为Ω₁图中m个矩形构成的阴影区域为Ω₂．在Ω₁中任取一点，则该点取自Ω₂的概率等于

 

．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：导数的概念及应用,概率与统计

分析：欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算直线x=0，x=1，y=0和曲线y=e^x所围成的区域为Ω₁的面积以及阴影部分的面积，再根据几何概型概率计算公式，即可得到答案．

解答： 解：解：由题意可知，此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，
由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=e^x所围成的图形的面积S（Ω₁），
则S（Ω₁）=

∫

1 0

exdx=ex

|

1 0

=e-1
又由图中m个矩形构成的阴影区域为Ω₂．
则阴影部分的面积为S（Ω₂）=

1

m

(e0+e 

1

m

+e 

2

m

+…+e 

m-1

m

)
=

1

m

•

e0[1-(e  1 m )m]

1-e  1 m

=

1

m

•

e-1

e  1 m -1

，
故在Ω₁中任取一点，则该点取自Ω₂的概率等于

S(Ω2)

S(Ω1)

=

1

m(e  1 m -1)

．
故答案为：

1

m(e  1 m -1)

．

点评：本题考查了利用定积分求面积，等比数列的前n项和公式以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于中档题．