Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等腰直角三角形，且∠ABC=90°，AC=2a，BB₁=3a，D为A₁C₁的中点．问在线段AA₁是否存在点F，使CF⊥面B₁DF．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：建立空间坐标系，给出有关点的坐标，设出点F的坐标，由线面垂直转化为线的方向向量与面的法向量垂直，利用二者内积为零建立关于参数的方程即可．

解答： 解：因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥面ABC，∠ABC=

π

2

．
以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为AC=2a，∠ABC=90°，所以AB=BC=

2

a，
从而B（0，0，0），A（

2

a，0，0），C（0，

2

a，0），B₁（0，0，3a），A₁（

2

a，0，3a），C₁（0，

2

a，3a），D（

2

2

a，

2

2

a，3a），E（0，

2

2

a，

3

2

a）．
所以

CA1

=（

2

a，-

2

a，3a），
设AF=x，则F（

2

a，0，x），

CF

=（

2

a，-

2

a，x），

B1F

=（

2

a，0，x-3a），

B1D

=（

2

2

a，

2

2

a，0），

CF

•

B1D

=

2

•

2

2

•a²+（-

2

）•

2

2

•a²+x•0=0
所以

CF

⊥

B1D

．
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F．
由

CF

•

B1F

=2a²+x（x-3a）=0，得x=a或x=2a，
故当AF=a或2a时，CF⊥平面B₁DF．

点评：本题考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量以及这些向量内积为0、共线等与立体几何中线面、面面位置关系的对应，考察了转化思想，属于中档题．