题目内容
在平面直角坐标系中，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，
)．
（Ⅰ）若
=2
，且
=x•
+y•
，求x，y的值；
（Ⅱ）若点P（x，y）为直线y=
x-1上的一个动点，求证∠APC恒为锐角．
| 3 |
（Ⅰ）若
| BM |
| MC |
| AM |
| AB |
| AC |
（Ⅱ）若点P（x，y）为直线y=
| 3 |
考点：平面向量数量积的运算,平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：（Ⅰ）想着用
，
表示
：
=
+
，所以若
能用
，
表示就可以了．这时候可以看到，由
=2
能得到
=
=
(
-
)，所以
=
+
(
-
)=
+
，所以得到x=
，y=
；
（Ⅱ）要证明∠APC为锐角，可以证明cos∠APC＞0，且cos∠APC≠1，这时可用向量表示cos∠APC=
，所以需说明
•
＞0，设P（x，
x-1），则
•
=4x2-2x-2
x+
+1=(x-1)2+(
x-1)2+
-1＞0，说明cos∠APC≠1，可说明A，C，P三点不共线：可假设共线，推出点P不存在即可．
| AB |
| AC |
| AM |
| AM |
| AB |
| BM |
| BM |
| AB |
| AC |
| BM |
| MC |
| BM |
| 2 |
| 3 |
| BC |
| 2 |
| 3 |
| AC |
| AB |
| AM |
| AB |
| 2 |
| 3 |
| AC |
| AB |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| 2 |
| 3 |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）要证明∠APC为锐角，可以证明cos∠APC＞0，且cos∠APC≠1，这时可用向量表示cos∠APC=
| ||||
|
|
| PA |
| PC |
| 3 |
| PA |
| PC |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）∵
=2
，∴
=2(
-
)；
∴
=
；
∴
=
+
=
+
=
+
(-
+
)=
+
；
∴x=
，y=
；
（Ⅱ）证明：因为点P（x，y）在直线y=
x-1上，所以点P(x，
x-1)；
∴
=(-1-x，1-
x)，
=(-x，
+1-
x)；
∴
•
=(-1-x)•(-x)+(1-
x)•(
+1-
x)=4x2-2x-2
x+
+1=(x-1)2+(
x-1)2+
-1＞0恒成立；
∴cos∠APC=
＞0；
假设
，
共线，则存在k使
=k
，带入坐标可得
；
由①得，k=
，带入②并整理得
+1=0，显然不成立，所以
，
不共线；
∴cos∠APC≠1；
故∠APC恒为锐角．
| BM |
| MC |
| BM |
| BC |
| BM |
∴
| BM |
| 2 |
| 3 |
| BC |
∴
| AM |
| AB |
| BM |
| AB |
| 2 |
| 3 |
| BC |
| AB |
| 2 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| 2 |
| 3 |
| AC |
∴x=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）证明：因为点P（x，y）在直线y=
| 3 |
| 3 |
∴
| PA |
| 3 |
| PC |
| 3 |
| 3 |
∴
| PA |
| PC |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴cos∠APC=
| ||||
|
|
假设
| PA |
| PC |
| PC |
| PA |
|
由①得，k=
| x |
| 1+x |
| 3 |
| PA |
| PC |
∴cos∠APC≠1；
故∠APC恒为锐角．
点评：考查向量的减法运算，平面向量基本定理，向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，向量夹角的余弦公式，共线向量基本定理．
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下列函数中，与函数y=-e|x|的奇偶性相同，且在（-∞，0）上单调性也相同的是（ ）
A、y=-
| ||
| B、y=ln|x| | ||
| C、y=x3-3 | ||
| D、y=-x2+2 |
已知集合A={x||x|＜2}，B={x|x2＞1}，则A∩B=（ ）
| A、（1，2） |
| B、（-2，-1） |
| C、（-2，-1）∪（1，2） |
| D、∅ |
已知向量
、
是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量
在直线l上，则
•
=0，且
•
=是l⊥α的（ ）
| a |
| b |
| c |
| c |
| a |
| c |
| b |
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |