Question

已知直线l：y=kx+1过定点A，动点M（x，y）满足|

MA

|=|y+1|，动点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）直线l与C交于P、Q两点，以P、Q为切点分别作C的切线，两条切线交于点B．
①求证：AB⊥PQ；
②若直线AB与C交于R、S两点，求四边形PRQS面积的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出定点A，再由两点距离公式，化简整理即可得到C的方程；
（2））①设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由抛物线上一点的切线方程得到切线，两式相减，求得B的横坐标，代入求得纵坐标，再由直线的斜率即可判断垂直；
②联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，再设四边形PRQS面积S=

1

2

|PQ|•|RS|，运用弦长公式，化简整理，再由基本不等式，即可求出最小值．

解答： （1）解：直线l：y=kx+1过定点A（0，1），
动点M（x，y）满足|

MA

|=|y+1|，则有x²+（y-1）²=（y+1）²，
化简得，x²=4y，即有C的方程：x²=4y；
（2）①设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁=kx₁+1，
由直线l和抛物线方程，联立，消去y，得，x²-4kx-4=0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由抛物线上一点的切线方程得，x₁x=2（y+y₁），x₂x=2（y+y₂），
两式相减得，x=

2(y1-y2)

x1-x2

=2k，则y=kx₁-y₁=-1．
即有B（2k，-1），AB斜率为

1+1

-2k

=-

1

k

，
则有AB⊥PQ；
②直线AB：y=-

1

k

x+1与抛物线交于R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），
则易得x₃+x₄=

4

-k

，x₃x₄=-4，
四边形PRQS面积S=

1

2

|PQ|•|RS|=

1

2

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

•

1+ 1 k2

(x3+x4)2-4x3x4

=

1

2

1+k2

(4k)2-4×(-4)

•

1+ 1 k2

•

( 4 -k )2-4×(-4)

=8•

(1+k2)2

k2

=8（k²+

1

k2

+2）≥8（2

k2• 1 k2

+2）=32．
当且仅当k=±1，取得最小值32．
则四边形PRQS面积的最小值为32．

点评：本题考查抛物线方程及运用，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，弦长公式，化简整理，考查基本不等式的运用和切线的方程求法，考查运算能力，属于中档题．