Question

已知-

π

3

≤x≤

π

4

，f（x）=tan²x+2tanx+2，求f（x）的最值及相应的x值．

Answer 1

考点：复合三角函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：换元法，令tanx=t，可得t的范围，可得关于t的二次函数，由二次函数区间的最值求法可得．

解答： 解：∵-

π

3

≤x≤

π

4

，∴-

3

≤tanx≤1，
令tanx=t，则-

3

≤t≤1，
∴f（x）=tan²x+2tanx+2可化为y=t²+2t+2=（t+1）²+1，
由二次函数的性质可得当t∈[-

3

，-1]时函数y单调递减，
当t∈[-1，1]时函数y单调递增，
∴当t=-1即x=-

π

4

时，y取最小值1，
当t=1即x=

π

4

时，y取最大值5

点评：本题考查复合三角函数的单调性，涉及二次函数和正切函数的性质，属中档题．