Question

在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=

2

2

，一曲线E过C点，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．直线m⊥AB于O，AO=BO．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设D为直线m上一点，

OD

=

AC

，过点D引直线l交曲线E于M、N两点，保持直线l与AB成45°，求四边形MANB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系，由此能推导出动点轨迹为椭圆，且a=

2

，c=1，从而b=1，从而能求出曲线E的方程．
（2）由已知条件设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线方程为y=x+

2

2

，代入椭圆方程

x2

2

+y²=1，由韦达定理、点到直线的距离公式能求出四边形MANB的面积．

解答： 解：（1）以AB为x轴，以AB中点为原点O建立直角坐标系．
∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=

2

2

+

4+ 1 2

=2

2

，
∴动点轨迹为椭圆，且a=

2

，c=1，从而b=1．
∴曲线E的方程为

x2

2

+y²=1．
（2）由题设知|

OD

|=

2

2

，由直线l与AB成45°角，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设直线方程为y=x+

2

2

，
代入椭圆方程

x2

2

+y²=1，得
3x2+2

2

x-1=0，
∴x1+x2=-

2 2

3

，x₁x₂=

2 10

3

，
A，B到直线MN的距离为d₁=

|-2+ 2 |

2 2

=

2 -1

2

，d2=

2 +1

2

，
∴四边形MANB的面积S=

1

2

•

2 10

3

•(

2 -1

2

+

2 +1

2

)=

2 5

3

．

点评：本题考查曲线E的方程的求法，考查四边形MANB的面积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．