Question

已知椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），过A（1，

6

3

），B（0，-1）两点．
（1）求椭圆G方程；
（2）设y=x+m与椭圆交于两不同点M、N，是否存在实数m，使|BM|=|BN|？

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）将A，B两点代入椭圆方程，解得a，b即可；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，应用韦达定理和判别式大于0，再由中点坐标公式，求出MN的中点P，再假设存在实数m，使|BM|=|BN|，则有BP⊥MN，运用斜率公式即可得到m，检验即可判断．

解答： 解：（1）由已知可得，

1

a2

+

2

3b2

=1，且

0

a2

+

1

b2

=1，
解得，a=

3

，b=1，
则有椭圆G方程：

x2

3

+y²=1；
（2）设y=x+m与椭圆交于两不同点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到4x²+6mx+3m²-3=0，
判别式△=36m²-16（3m²-3）＞0，解得，-2＜m＜2．
x₁+x₂=-

3m

2

，
则MN中点P（-

3m

4

，

m

4

）．
假设存在实数m，使|BM|=|BN|，则有BP⊥MN，
则BP的斜率为-1，即有

m 4 +1

- 3m 4

=-1，解得，m=2．
检验不成立，则不存在实数m，使|BM|=|BN|．

点评：本题考查椭圆的方程和应用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，应用韦达定理和中点坐标公式，考查两直线的垂直的条件，考查运算能力，属于中档题和易错题．