Question

18．某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50元，当天以每个100元售出，若当天白天售不出，则当晚已30元/个价格作普通蛋糕低价售出，可以全部售完．
（1）若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，求当天的利润y（单位：元）关于当天生日蛋糕的需求量n（单位个，n∈N^*）的函数关系；
（2）蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表：

日需求量n	17	18	19	20	21	22	23
频数（天）	10	20	20	14	13	13	10

（ⅰ）假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（ⅱ）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900元的概率．

Answer 1

分析 （1）根每个制作成本为50元，当天以每个100元售出，若当天白天售不出，则当晚已30元/个价格作普通蛋糕低价售出，即可建立分段函数；
（2）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；
（ii）当天的利润不少于900元，当且仅当日需求量不少于19枝，故可求当天的利润不少于900元的概率．

解答 解：（1）当日需求量n≥20时，利润y=1000；当日需求量n＜20时，利润y=50n-20（20-n）=70n-400；（4分）
∴利润y关于当天需求量n的函数解析式y=$\left\{\begin{array}{l}{70n-400，n＜20}\\{1000，n≥20}\end{array}\right.$（n∈N^*）（6分）
（2）（i）这100天的日利润的平均数为$\frac{790×10+860×20+930×20+1000×50}{100}$=937；（9分）
（ii）当天的利润不少于900元，当且仅当日需求量不少于19枝，故当天的利润不少于900元的概率为P=0.2+0.14+0.13+0.13+0.1=0.7．（12分）

点评 本题考查函数解析式的确定，考查概率知识，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．