Question

13．已知函数f（x）=e^x（x²+ax+a），实数是常数．
（1）若a=2，函数y=f（x）的图象上是否存在两条相互垂直的切线，并说明理由．
（2）若y=f（x）在[a，+∞）上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，配方，可得导数非负，即可判断不存在；
（2）由于f（x）在[a，+∞）上有零点，则f（x）在[a，+∞）上的最小值小于等于0．求出f（x）的导数，极值点，讨论a的范围，解不等式，求并集即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=e^x（x²+2x+2），
导数为f′（x）=e^x（x²+4x+4）=e^x（x+2）²≥0，
对任意的x₁，x₂∈R，均有f′（x₁）f′（x₂）≥0，
故函数y=f（x）的图象上不存在两条相互垂直的切线；
（2）由于f（x）在[a，+∞）上有零点，则f（x）在[a，+∞）上的最小值小于等于0．
由f′（x）=e^x（x+2）（x+a），令f′（x）=0，可得x=-2或-a．
当-a≤-2时，即a≥2时，f′（x）＞0对x∈[a，+∞）成立，均有f（x）在[a，+∞）递增，
此时f（x）的最小值为f（a）=e^a（a²+a²+a）≤e^a，
解得-1≤a≤$\frac{1}{2}$，不成立；
当-a＞-2即a＜2时，
①若a≥0，f′（x）＞0对x∈[a，+∞）成立，均有f（x）在[a，+∞）递增，
此时f（x）的最小值为f（a）=e^a（a²+a²+a）≤e^a，
解得-1≤a≤$\frac{1}{2}$，即为0≤a≤$\frac{1}{2}$；
②若a＜0，若a≥-2，f′（x）＜0对x∈（a，-a）成立，f′（x）＞0对x∈[-a，+∞）成立，
则f（x）在（a，-a）递减，在[-a，+∞）递增，
此时f（x）的最小值为f（-a），且f（-a）=e^-a（a²-a²+a）=e^-a•a≤e^a，解得-2≤a＜0；
若a＜-2，-a∈[a，+∞），f（-a）=e^-a（a²-a²+a）=e^-a•a≤e^a，此时结论成立．
综上可得，a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、最值，考查分类讨论的思想方法，化简整理的运算能力，属于难题．