Question

8．函数f（x）=sin（πx）-$\frac{1}{x+1}$，x∈[-4，2]的所有零点之和为-4．

Answer 1

分析 由题意函数y=sin（πx）-$\frac{1}{x+1}$，x∈[-4，2]的零点，即sin（πx）=$\frac{1}{x+1}$的根；作出函数y=sin（πx）与y=$\frac{1}{x+1}$的图象结合函数的对称性，可得答案．

解答 解：函数y=sin（πx）-$\frac{1}{x+1}$，x∈[-4，2]的零点，即sin（πx）=$\frac{1}{x+1}$的根；
作出函数y=2sin（πx）与y=$\frac{1}{x+1}$在x∈[-4，2]上的图象，如下图所示：

由图可得：两个函数的图象有4个不同的交点，
且两两关于点（-1，0）对称，
故四个点横坐标之和为-4，
即函数f（x）=sin（πx）-$\frac{1}{x+1}$，x∈[-4，2]的所有零点之和为-4，
故答案为：-4．

点评 本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．