Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=6，AD=4，AA₁=3，分别过BC、A₁D₁的两个平行截面将长方体分成三部份，其体积分别记为V₁=V_AEA1-DFD1，V₂=V_{EBE1A1-FCF1D1}，V₃=V_B1E1BC1F1C，若V₁：V₂：V₃=1：4：1，则截面A₁EFD₁的面积为

 

．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：由V₁：V₂：V₃=1：4：1，又棱柱AEA₁-DFD₁，EBE₁A₁-FCF₁D₁，B₁E₁B-C₁F₁C的高相等，得AE=2．由此能求出截面A₁EFD₁的面积．

解答： 解：V₁：V₂：V₃=1：4：1，
又棱柱AEA₁-DFD₁，EBE₁A₁-FCF₁D₁，B₁E₁B-C₁F₁C的高相等，?
∴S_△A1AE：S_A1-EBE1：S_△BB1E1=1：4：1．
∴S△A1AE=

1

6

S四边形A1ABB1=

1

6

×3×6=3，
即

1

2

×3×AE=3．解得AE=2．
在Rt△A₁AE中，A1E=

9+4

=

13

，
∴截面A₁EFD₁的面积为4

13

．
故答案为：4

13

．

点评：本题考查截面面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．