Question

对任意实数x和任意θ∈[0，

π

2

]，恒有(x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥

1

8

，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：原不等式等价于（3+2sinθcosθ-asinθ-acosθ）²≥

1

4

，θ∈[0，

π

2

]，从而可得a≥

3+2sinθcosθ+ 1 2

sinθ+cosθ

，或a≤

3+2sinθcosθ- 1 2

sinθ+cosθ

，于是问题转化为求函数的最值问题加以解决，对上述分式进行合理变形，利用函数单调性、基本不等式即可求得最值．

解答： 解：原不等式等价于（3+2sinθcosθ-asinθ-acosθ）²≥

1

4

，θ∈[0，

π

2

]①，
由①得a≥

3+2sinθcosθ+ 1 2

sinθ+cosθ

②，或a≤

3+2sinθcosθ- 1 2

sinθ+cosθ

③，
在②中，1≤sinθ+cosθ≤

2

，

3+2sinθcosθ+ 1 2

sinθ+cosθ

=（sinθ+cosθ）+

5

2(sinθ+cosθ)

，
显然当1≤x≤

2

时，f（x）=x+

5

2x

为减函数，从而上式最大值为f（1）=1+

5

2

=

7

2

，
由此可得a≥

7

2

；
在③中，

3+2sinθcosθ- 1 2

sinθ+cosθ

=（sinθ+cosθ）+

3

2(sinθ+cosθ)

≥2

3 2

=

6

，
当且仅当sinθ+cosθ=

6

2

时取等号，
所以

3+2sinθcosθ- 1 2

sinθ+cosθ

的最小值为

6

，
由此可得a≤

6

，
综上，a≤

6

或a≥

7

2

．
故答案为：a≤

6

或a≥

7

2

．

点评：本题考查函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法，解决本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉x，变为关于θ的恒等式处理．