Question

已知f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=3^x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=

 

．

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的判断,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得函数周期T=4，再由奇函数的性质综合可得f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，而所求结果为0×503+f（2013）=f（1），进而可得答案．

解答： 解：由题意可得f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
故函数f（x）的周期T=4，又函数为奇函数，故有f（x）=f（-x），
令x=0可得f（0）=0，再把x=0代入原式可得f（2）=-f（0）=0，
而f（1）=3¹=3，f（3）=f（-1）=-f（1）=-3，
f（4）=f（0）=0，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=0×503+f（2013）=f（1）=3
故答案为：3

点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的判断，属基础题．