Question

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，
（1）求证：CN∥平面AMD；
（2）求面AMN与面NBC所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由正方形对边平行可得BC∥AD，进而由线面平行的判定定理得到BC∥平面AMD，由线面垂直的性质定理，结合MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，可得MD∥NB，进而由线面平行的判定定理得到NB∥平面AMD，由面面平行的判定定理得到平面BNC∥平面AMD后，再由面面平行的性质得到CN∥平面AMD；
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DM分别为x，y，z轴建立图示空间直角坐标系，求出平面AMN的一个法向量和平面NBC的一个法向量，代入向量夹角公式，可得面AMN与面NBC所成二面角的平面角的余弦值．

解答： 解：（1）∵ABCD是正方形，BC∥AD，
又∵BC?平面AMD，AD?平面AMD
∴BC∥平面AMD；（2分）
又MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，
∴MD∥NB，
又∵MD?平面AMD，NB?平面AMD
∴NB∥平面AMD，（4分）
又∵NB∩BC=B，NB，BC?平面BNC
所以平面BNC∥平面AMD，
又∵CN?平面BNC
故CN∥平面AMD；（5分）
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DM分别为x，y，z轴建立图示空间直角坐标系，则：
A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0）．N （1，1，1），M （0，0，1），

AM

=(-1，0，1)，

AM

=(0，1，1)，

AB

=(0，1，0)（6分）
设平面AMN的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
由

AM • n =0 AN • n =0

得：

-x+z=0 y+z=0

（7分）
令z=1得：

n

=(1，-1，1)．（8分）
易知：

AB

=(0，1，0)是平面NBC的一个法向量．
故cos?

AB

，

n

＞=

-1

3

=-

3

3

（9分）
∴面AMN与面NBC所成二面角的余弦值为

3

3

（10分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法，（1）的关键是熟练掌握线线平行，线面平行及面面平行之间的相互转化，（2）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．