Question

如图，ABCD与ABEF是全等的直角梯形，AB⊥AD，底面四边形ADGF为菱形，二面角D-AB-F=1200，AD=2BC=4，AB=2，
（1）求证：FD⊥BG
（2）求证：CE∥DF
（3）求点A到面CEG的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得AB⊥平面ADGF，AB⊥FD，又FD⊥AG，由此能证明FD⊥BG．
（2）取AD、AF的中点M，N，连结CM、MN、NE，由已知得MCEN是平行四边形，由此能证明CE∥DF．
（3）取CE中点K，连结BK，GK，过点A作AH⊥GK，则HA是点A到面CEG的距离，由此能求出点A到面CEG的距离．

解答： （1）证明：∵AB⊥AD，AB⊥AF，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADGF，AB⊥FD，又FD⊥AG，
∴FD⊥面ABG，∴FD⊥BG．
（2）证明：取AD、AF的中点M，N，连结CM、MN、NE，
CM∥AB∥NE，∴MCEN是平行四边形，
∴CE∥MN，而MN∥DF，
∴CE∥DF．
（3）解：如图，取CE中点K，连结BK，GK，
过点A作AH⊥GK，
由（1）可证CE∥DF，DF⊥平面ABKG，
∴CE⊥面ABKG，∴CE⊥HA，HA⊥面CEG，
∴HA是点A到面CEG的距离，
∵二面角D-AB-F=120°，AD=2BC=4，AB=2，
∴BK=1，AG=2，GK=

5

，
∵

1

2

GK•AH=

1

2

GA•AB，
∴HA=

GA•AB

GK

=

2×2

5

=

4 5

5

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与直线平行的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．