Question

已知函数f（x）=x²-2x+

a

x

，x∈[2，+∞）
（1）当a=1时，求f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（2）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）首先，把给定的a的值代入，然后，求解导数，判断函数在给定区间上为增函数，然后确定其最小值即可；
（2）根据已知条件，分离出参数a，然后，转化成a＞（-x³+2x²）max，求解函数的最值问题．

解答： 解：（1）∵a=1，
∴函数f（x）=x²-2x+

1

x

，
∴f′（x）=

2(x-1)x2-1

x2

，
∵x∈[2，+∞）
∴f′（x）＞0，
∴f（x）的最小值为f（2）=

1

2

．
（2）∵f（x）=x²-2x+

a

x

，
f（x）＞0，
∴x²-2x+

a

x

＞0，
∴a＞-x³+2x²，
f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
也就是a＞（-x³+2x²）max
设g（x）=-x³+2x²，
∴g′（x）=-3x²+2x，
∴g′（x）=0，解得x=0或x=

2

3

，
当0＜x＜

2

3

时，g′（x）＞0，
当x＞

2

3

时，g′（x）＜0，
∴当x=

2

3

时，g（x）有最大值

16

27

，
∴实数a的取值范围（

16

27

，+∞）．

点评：本题考查函数单调性的判断、函数在闭区间上的最值，考查了导数在求解函数最值中的应用，考查等价转化思想的应用．