Question

13．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且ED=FB=1，G为BC的中点．
（1）求此几何体的体积；
（2）在线段AF上是否存在点P，使得GP⊥平面AEF？若存在，求线段AP的长，若不存在，请说明理由；
（3）求二面角E-AF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）可把几何体补成一个边长为1的正方体ABCD-MFNE，则此几何体的体积：V=1³-V_A-MEF-V_C-NEF，由此能求出结果．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出在线段AF上存在点P，使得GP⊥平面AEF，并能求出线段AP的长．
（3）求出平面AEF的一个法向量，平面BAF的法向量，利用向量法能求出二面角E-AF-B的余弦值．

解答 解：（1）如图，可把几何体补成一个边长为1的正方体ABCD-MFNE，
∴此几何体的体积：
V=1³-V_A-MEF-V_C-NEF
=1-$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×1）×1$-$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×1）×1$
=$\frac{2}{3}$．
（2）如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），G（$\frac{1}{2}$，1，0），E（0，0，1），F（1，1，1），
∴$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），$\overrightarrow{EF}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AG}$=（-$\frac{1}{2}$，1，0），
设$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AF}$=（0，λ，λ），则$\overrightarrow{GP}$=$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AG}$=（$\frac{1}{2}，λ-1，λ$），
由$\overrightarrow{GP}$⊥$\overrightarrow{AF}$，得$\overrightarrow{GP}•\overrightarrow{AF}$=λ-1+λ=0，
解得$λ=\frac{1}{2}$，
此时$\overrightarrow{GP}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{GP}$$•\overrightarrow{EF}$=0，
∴此时GP⊥平面AEF，
线段AP的长|AP|=$\sqrt{{0}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）由（2）知平面AEF的一个法向量$\overrightarrow{GP}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
平面BAF的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
cod＜$\overrightarrow{GP}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{GP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{GP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由图知二面角E-AF-B的平面角是钝角，
∴二面角E-AF-B的余弦值为-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查几何体体积的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，二查二面角的余弦值的求法，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．