Question

18．已知正实数x，y满足xy（x+3y）=x-2y，那么y的最大值为1．

Answer 1

分析 根据题意，将xy（x+3y）=x-2y变形可得yx²+（3y²-1）x+2y=0，原问题可以转化为方程yx²+（3y²-1）x+2y=0有正数根的问题，结合二次函数的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{△=（3{y}^{2}-1）^{2}-8{y}^{2}≥0}\\{-\frac{3{y}^{2}-1}{2y}＞0}\end{array}\right.$，解可得y的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，由xy（x+3y）=x-2y，变形可得yx²+（3y²-1）x+2y=0，
而x、y都是正实数，
则方程yx²+（3y²-1）x+2y=0有正数根，
又由$\frac{c}{a}$=2＞0，则方程yx²+（3y²-1）x+2y=0的两根同号，
则有$\left\{\begin{array}{l}{△=（3{y}^{2}-1）^{2}-8{y}^{2}≥0}\\{-\frac{3{y}^{2}-1}{2y}＞0}\end{array}\right.$，
解可得y²≤$\frac{7-2\sqrt{10}}{6}$，
即0＜y≤$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$，
即y的最大值为$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查不等式的应用，关键是将不等式转化为方程有正数解的问题．