Question

4．（1）已知数列{a_n}是等差数列，且${a_1}+{a_5}+{a_9}=\frac{π}{4}$，求$sin（{{a_4}+{a_6}+\frac{2017π}{2}}）$的值；
（2）已知数列{a_n}是等差数列，且满足${a_2}^2={a_1}{a_5}，{a_1}+{a_2}+{a_5}=26$，求数列{a_n}的 通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列通项公式求出${a}_{5}=\frac{π}{12}$，从而求出$sin（{{a_4}+{a_6}+\frac{2017π}{2}}）$=sin（$2{a}_{5}+\frac{π}{2}$）=cos$\frac{π}{6}$，由此能求出结果．
（2）由等差数列通项公式得到d²=2a₁d，从而求出d=0或d=2a₁，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵数列{a_n}是等差数列，且${a_1}+{a_5}+{a_9}=\frac{π}{4}$，
∴$3{a}_{5}=\frac{π}{4}$，解得${a}_{5}=\frac{π}{12}$，
∴$sin（{{a_4}+{a_6}+\frac{2017π}{2}}）$
=sin（$2{a}_{5}+\frac{π}{2}$）
=sin（$\frac{π}{6}+\frac{π}{2}$）=cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵${a_2}^2={a_1}{a_5}∴{（{{a_1}+d}）^2}={a_1}（{{a_1}+4d}）$，
∴d²=2a₁d∴d=0或d=2a₁…..（7分）
当$d=0时，由{a_1}+{a_2}+{a_5}=26得{a_1}=\frac{26}{3}$，
此时，${a_n}=\frac{26}{3}$…．（8分）
当d=2a₁时，由a₁+a₂+a₅=26得13a₁=26，故a₁=2，d=4，
此时，a_n=2+4（n-1）=4n-2
综上可知：${a_n}=\frac{26}{3}$或a_n=2+4（n-1）=4n-2．

点评 本题考查正弦值的求法，考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列通项公式、前n项和公式、诱导公式、正弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．