Question

已知函数f（x）=

1，(1≤x≤2) x-1，(2＜x≤3)

，若a∈（0，1）时，函数g（x）=f（x）-ax（x∈[1，3]）的最大值与最小值的差为h（a），则h（a）的值域是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：化简g（x）=f（x）-ax的表达式，从而求函数g（x）=f（x）-ax（x∈[1，3]）的最大值与最小值，从而求出h（a）=

1-a，0＜a＜ 1 2 a， 1 2 ≤a＜1

，从而求h（a）的值域．

解答： 解：由a∈（0，1），若1≤x≤2，
则g（x）=f（x）-ax=1-ax在[1，2]上单调递减，
若2＜x≤3，
则g（x）=f（x）-ax=x-1-ax=（1-a）x-1在（2，3]上单调递增，
故g_min（x）=g（2）=1-2a，
又∵g（1）=1-a，g（3）=2-3a；
g（3）-g（1）=1-2a，
故当0＜a＜

1

2

时，
g_max（x）=g（3）=2-3a，
当

1

2

≤x＜1时，
g_max（x）=g（1）=1-a；
故h（a）=

1-a，0＜a＜ 1 2 a， 1 2 ≤a＜1

，
故函数的值域为[

1

2

，1）．
故答案为：[

1

2

，1）．

点评：本题考查了分段函数的最值的求法及分段函数的值域的求法，属于中档题．