Question

2．已知直线y=ax与圆C：x²+y²-2ax-2y+2=0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为6π．

Answer 1

分析 根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离为Rsin60°，再根据点到直线的距离公式列出方程，求出圆的半径即可．

解答 解：圆C化为x²+y²-2ax-2y+2=0，
即（x-a）²+（y-1）²=a²-1，
且圆心C（a，1），半径R=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵直线y=ax和圆C相交，△ABC为等边三角形，
∴圆心C到直线ax-y=0的距离为
Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
即d=$\frac{{|a}^{2}-1|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3{（a}^{2}-1）}}{2}$，
解得a²=7，
∴圆C的面积为πR²=π（7-1）=6π．
故答案为：6π．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解题的关键．