Question

成都七中为绿化环境，移栽了银杏树2棵，梧桐树3棵．它们移栽后的成活率分别为

2

3

，

1

2

且每棵树是否存活互不影响，求移栽的5棵树中：
（1）银杏树都成活且梧桐树成活2棵的概率；
（2）成活的棵树ξ的分布列与期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）设A表示“银杏树都成活且梧桐树成活2棵”，A_i（i=0，1，2）表示“银杏树成活i棵”，B_k（k=0，1，2，3）表示“梧桐树成活k棵”，由P（A）=P（A₂）P（B₂），由此能求出结果．
（2）由题意知ξ可能的取值：0，1，2，3，4，5，分别求出相对应的概率值，由此能求出成活的棵树ξ的分布列与期望．

解答： 解：（1）设A表示“银杏树都成活且梧桐树成活2棵”
设A_i（i=0，1，2）表示“银杏树成活i棵”，
由题意知：P(A0)=

1

9

，
P(A1)=

4

9

，
P(A2)=

4

9

，
设B_k（k=0，1，2，3）表示“梧桐树成活k棵”，
由题意知：P(B0)=

1

8

，
P(B1)=

3

8

，P(B2)=

3

8

，
P(B3)=

1

8

，…（3分）
∴P(A)=P(A2)•P(B2)=

3

18

=

1

6

．…（5分）
（2）由题意知ξ可能的取值：0，1，2，3，4，5，
P(ξ=0)=P(A0)P(B0)=

1

72

，
同理：P(ξ=1)=

7

72

，P(ξ=2)=

19

72

，
P(ξ=3)=

25

72

，P(ξ=4)=

2

9

，P(ξ=5)=

1

18

，…（7分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 72	7 72	19 72	25 72	2 9	1 18

…（10分）
∴Eξ=

17

6

…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的灵活运用，是中档题．