题目内容
已知：a，b，c分别是锐角△ABC三个内角A，B，C所对的边，向量
=(sinA，2
sinA)，
=(2cosA，sinA)，设f（x）=
•
，
（1）若f(A)=2
，求角A；
（2）在（1）的条件下，若
+
=
，a=2，求三角形ABC的面积．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
（1）若f(A)=2
| 3 |
（2）在（1）的条件下，若
| b |
| tanB |
| c |
| tanC |
| 2a |
| tanA |
考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的求值,解三角形
分析：（1）根据向量的数量积公式求出f（x）的表达式，然后利用f(A)=2
，即可求角A；
（2）利用同角的三角关系式进行化简，求出三角形ABC中对应的边长关系即可求出三角形的面积．
| 3 |
（2）利用同角的三角关系式进行化简，求出三角形ABC中对应的边长关系即可求出三角形的面积．
解答：
解：（1）∵量
=(sinA，2
sinA)，
=(2cosA，sinA)，设f（x）=
•
，
∴f(x)=2sinAcosA+2
sin2A=sin2A-
cos2A+
=2sin(2A-
)+
，
若f(x)=2
，
则sin(2A-
)=
，
∴2A-
=
或
，
即A=
或A=
（舍去）．
（2）由
+
=
，
则
+
=
，
∴cosB+cosC=2cosA=1，
又∵B+C=
，
∴B=C=
，
∴三角形ABC是等边三角形，
∵a=2，
∴三角形ABC的面积
．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
∴f(x)=2sinAcosA+2
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
若f(x)=2
| 3 |
则sin(2A-
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴2A-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
即A=
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（2）由
| b |
| tanB |
| c |
| tanC |
| 2a |
| tanA |
则
| bcosB |
| sinB |
| ccosC |
| sinC |
| 2acosA |
| sinA |
∴cosB+cosC=2cosA=1，
又∵B+C=
| 2π |
| 3 |
∴B=C=
| π |
| 3 |
∴三角形ABC是等边三角形，
∵a=2，
∴三角形ABC的面积
| 3 |
点评：本题主要考查三角关系式的化简和计算，利用平面向量数量积的定义求出函数f（x）是解决本题的关键，考学生的计算能力．
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| 3 |
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