Question

4．已知点$A（{1，1}），B（{1，-1}），C（{\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ}），θ∈R$，O是坐标原点，
（1）若$|{\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}}|=\sqrt{2}$，求sin2θ的值；
（2）若实数m，n满足$m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}，θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，求（m+3）²+n²的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标运算，结合模长公式和三角恒等变换，即可求出sin2θ的值；
（2）根据平面向量的坐标表示与向量相等，求出实数m，n的值，代入（m-3）²+n²，利用三角函数的有界性即可计算它的最大值．

解答 解：（1）点$A（{1，1}），B（{1，-1}），C（{\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ}），θ∈R$，O是坐标原点，
∴$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$cosθ-1，$\sqrt{2}$sinθ-1）；
又$|{\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}}|=\sqrt{2}$，
∴${（\sqrt{2}cosθ-1）}^{2}$+${（\sqrt{2}sinθ-1）}^{2}$=2，
∴2-2$\sqrt{2}$（cosθ+sinθ）+2=2，
即sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
两边平方得：1+2sinθcosθ=$\frac{1}{2}$，
化简得sin2θ=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵$\overrightarrow{OC}$=（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），$\overrightarrow{OA}$=（1，1），$\overrightarrow{OB}$=（1，-1），
且实数m，n满足$m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}，θ∈（{0，\frac{π}{2}}）$，
∴m（1，1）+n（1，-1）=（$\sqrt{2}$cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），
即$\left\{\begin{array}{l}{m+n=\sqrt{2}cosθ}\\{m-n=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{\sqrt{2}（sinθ+cosθ）}{2}$，n=$\frac{\sqrt{2}（cosθ-sinθ）}{2}$；
∴（m-3）²+n²=m²+n²-6m+9，
=-3$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）+10
=-6sin（θ+$\frac{π}{4}$）+10，
∴当sin（θ+$\frac{π}{4}$）=-1时，（m-3）²+n²取得最大值16．

点评 本题主要考查了向量的坐标计算、减法、模的坐标计算以及三角函数的化简求值问题，是综合性题目．