Question

16．若f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=x²，则x＜0时，f（x）=-x²，若对任意的x∈[t，t+2]，f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由当x＞0时，f（x）=x²，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=-x²，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（$\sqrt{2}$x），再根据不等式f（x+t）≥2f（x）=f（$\sqrt{2}$x）在[t，t+2]恒成立，可得x+t≥$\sqrt{2}$x在[t，t+2]恒成立，即可得出答案．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0 时，f（x）=x²
∴当x＜0，有-x＞0，f（-x）=（-x）²，
∴-f（x）=x²，即f（x）=-x²，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x＞0}\\{{-x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
∴f（x）在R上是单调递增函数，
且满足2f（x）=f（$\sqrt{x}$x），
f（x+t）≥2f（x）=f（$\sqrt{2}$x），
又∵函数在定义域R上是增函数
故问题等价于当x属于[t，t+2]时 
x+t≥$\sqrt{2}$x恒成立?（$\sqrt{2}$-1）x-t≤0恒成立，
令g（x）=（$\sqrt{2}$-1）x-t，
g（x）_max=g（t+2）≤0
解得t≥$\sqrt{2}$．
∴t 的取值范围t≥$\sqrt{2}$，
故答案为：-x²；[$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．