Question

12．同时具备以下性质：（1）最小正周期为π；（2）图象关于x=$\frac{π}{3}$对称；（3）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是增函数的是（　　）

• A． y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）
• B． y=cos（2x+$\frac{π}{3}$）
• C． y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
• D． y=cos（2x-$\frac{π}{6}$）

Answer 1

分析 根据函数y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的最小正周期为4π，判断A不满足；
根据x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，函数y=cos（2x+$\frac{π}{3}$）是单调减函数，判断B不满足；
根据函数y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的最小正周期为π，图象关于x=$\frac{π}{3}$对称，且在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上是增函数，判断C满足题意；
根据函数图象不关于x=$\frac{π}{3}$对称，判断D不满足．

解答 解：对于A，函数y=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）的最小正周期为T=4π，不满足题意；
对于B，x=$\frac{π}{3}$时，y=cos（2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=-1，函数图象关于x=$\frac{π}{3}$对称，
又x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
函数y=cos（2x+$\frac{π}{3}$）是单调减函数，不满足题意；
对于C，函数y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的最小正周期为T=π，
且x=$\frac{π}{3}$时，y=sin（2×$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=1，函数图象关于x=$\frac{π}{3}$对称，
又x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
函数y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）是单调增函数，满足题意；
对于D，x=$\frac{π}{3}$时，y=cos（2×$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=0，函数图象不关于x=$\frac{π}{3}$对称，不满足题意．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的性质与应用问题，也考查了基本知识的灵活运用问题，是基础题目．