Question

14．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，∠EBD=45°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求该几何体的体积．

Answer 1

分析 （I）四边形ABCD是正方形，可得AC⊥DB．由DE⊥平面ABCD，可得DE⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可证明．
（II）四边形ABCD是边长为2的正方形，可得DB=2$\sqrt{2}$，又∠EBD=45°，可得DE=DB=2$\sqrt{2}$．又DE=2AF，可得AF=$\sqrt{2}$．利用线面垂直的性质定理可得AF⊥AD．四边形ADEF的面积S，利用已知可得AB⊥平面ADEF，V_{四棱锥ADEF}=$\frac{1}{3}S•AB$．V_{三棱锥E-BCD}=$\frac{1}{3}DE•{S}_{△BCD}$，即可得出．

解答 （I）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥DB．
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DE⊥AC，
又DE∩DB=D，∴AC⊥平面BDE．
（II）解：四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴DB=2$\sqrt{2}$，
又∠EBD=45°，∴DE=DB=2$\sqrt{2}$．
∵DE=2AF，∴AF=$\sqrt{2}$．
∵DE⊥平面ABCD，AF∥DE，
∴DE⊥AD，AF⊥平面ABCD，
∴AF⊥AD．
四边形ADEF的面积S=$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}×2$=3$\sqrt{2}$．
∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AB．
又AB⊥AD，AD∩DE=D，
∴AB⊥平面ADEF，
∴V_{四棱锥B-ADEF}=$\frac{1}{3}S•AB$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{2}×2$=2$\sqrt{2}$．
V_{三棱锥E-BCD}=$\frac{1}{3}DE•{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\frac{1}{2}×{2}^{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
∴该几何体的体积=2$\sqrt{2}$+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三棱锥与四棱锥的体积计算公式、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．