题目内容

下列函数中周期为π且图象关于直线x=
π
3
对称的函数是（　　）
A、y=2sin（
x
2
+
π
3
）
B、y=2sin（2x-
π
6
）
C、y=2sin（2x+
π
6
）
D、y=2sin（
x
2
-
π
3
）
考点：三角函数的周期性及其求法,正弦函数的对称性
专题：三角函数的图像与性质
分析：先求出函数的周期，再根据当x=
π
3
时，函数是否取得最值，从而判断函数是否满足条件，从而得出结论．
解答： 解：A．函数y=2sin（
x
2
+
π
3
）的周期为
2π
1
2
=4π，不为π，故A不选；
B．函数y=2sin（2x-
π
6
）的周期为
2π
2
=π，且当x=
π
3
时，函数y取得最大值2，故图象关于直线x=
π
3
对称，满足条件，故B选；
C．函数y=2sin（2x+
π
6
）的周期为
2π
2
=π，且当x=
π
3
时，函数y=1，没有取得最值，故函数的图象不关于直线x=
π
3
对称，故C不选；
D．函数y=2sin（
x
2
-
π
3
）的周期为
2π
1
2
=4π，不为π，故D不选，
故选：B．
点评：本题主要考查三角函数的周期性以及求法，三角函数的图象的对称性，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设集合M={f(x)|x∈(0，+∞)，f(x)=f(
1
x
)}．
（1）已知函数f(x)=
x
1+x2
(x＞0)，求证：f（x）∈M；
（2）对于（1）中的函数f（x），求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得g(x+
1
x
)=f(x)对任意x＞0成立．
（3）对于任意f（x）∈M，求证：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得等式g(x+
1
x
)=f(x)对任意x＞0成立．
设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数T使得对任意的x∈M（M⊆D），有x+T∈D，且f（x+T）≥f（x），则称函数f（x）为M上的T高调函数．
（1）现给出下列命题：
①函数f（x）=log
1
2
x为（0，+∞）上的T高调函数；
②函数f（x）=sinx为R上的2π高调函数；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x2为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）．其中正确命题的序号是
 
；
（2）如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0 时，f（x）=|x2-a2|-a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是
 
．
根据如图所示的伪代码，最后输出的a的值为
 
．
已知
AB
和
AC
是平面内两个单位向量，它们的夹角为60°，则2
AB
-
AC
与
CA
的夹角是（　　）
A、30°B、60°
C、90°D、120°
函数f（x）=Asin（?x+φ）+h（A＞0，?＞0，|φ|≤
π
2
）的部分图象如图所示，若将函数向右平移m（m＞0）个单位后成为偶函数，则m的最小值为（　　）
A、
5π
3
B、5
C、
2π
3
D、1
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），点A为左顶点，点B为上顶点，直线AB的斜率为
3
2
，又直线y=k（x-1）经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）将|MN|表示为k的函数；
（Ⅲ）线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，又点Q（1，0），求证：
|PQ|
|MN|
为定值．
已知数列{an}满足首项为a1=2，an+1=2an（n∈N*）．设bn=3log2an-2（n∈N*），数列{cn}满足cn=anbn．
（Ⅰ）求证：数列{bn}成等差数列；
（Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Sn．
已知直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的左支相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为点M，定点C（-2，0）．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求直线MC在y轴上的截距的取值范围．

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