Question

已知数列{a_n}满足首项为a₁=2，a_n+1=2a_n（n∈N^*）．设b_n=3log₂a_n-2（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}成等差数列；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由数列{a_n}的递推式求出{a_n}的通项公式，代入b_n=3log₂a_n-2整理，然后利用等差数列的定义证明数列{b_n}成等差数列；
（Ⅱ）直接利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和S_n．

解答： （Ⅰ）证明：∵a_n+1=2a_n，且a₁=2≠0，
∴数列{a_n}为等比数列，则an=a1qn-1=2n，
∴b_n=3log₂a_n-2=3log22n-2=3n-2．
∵b_n+1-b_n=3（n+1）-2-3n+2=3，
∴{b_n}为以3为公差的等差数列；
（Ⅱ）解：∵cn=anbn=(3n-2)•2n，
∴Sn=1•2+4•22+7•23+…+(3n-2)•2n  ①
2Sn=1•22+4•23+7•24+…+(3n-5)•2n+(3n-2)•2n+1  ②
①-②得：-Sn=2+3[22+23+24+…+2n]-(3n-2)•2n+1
=2+3•

4(1-2n-1)

1-2

-(3n-2)•2n+1=-10+（5-3n）•2ⁿ⁺¹，
∴Sn=10-(5-3n)•2n+1．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了数列的求和方法，训练了利用错位相减法求数列的和，是中档题．