Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），点A为左顶点，点B为上顶点，直线AB的斜率为

3

2

，又直线y=k（x-1）经过椭圆C的一个焦点且与其相交于点M，N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）将|MN|表示为k的函数；
（Ⅲ）线段MN的垂直平分线与x轴相交于点P，又点Q（1，0），求证：

|PQ|

|MN|

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由直线AB的斜率为

3

2

得到

b

a

=

3

2

，求直线经过的定点得椭圆焦点，结合a²=b²+c²求得a²，b²的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由弦长公式得到|MN|关于k的函数；
（Ⅲ）求出线段MN的垂直平分线方程，取y=0求得P点坐标，则|PQ|可求，直接作比得到

|PQ|

|MN|

为定值．

解答： （Ⅰ）解：如图，

∵直线AB的斜率为

3

2

，
∴

b

a

=

3

2

，
又直线y=k（x-1）经过椭圆C的一个焦点，
∴交点F（1，0）．
则

c=1 b a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=3．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）解：联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．
∴|MN|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

( 8k2 3+4k2 )2-4• 4k2-12 3+4k2

=

12(1+k2)

3+4k2

．
（Ⅲ）证明：线段MN的中点的横坐标为

x1+x2

2

=

4k2

3+4k2

，纵坐标为k•(

4k2

3+4k2

-1)=

-3k

3+4k2

．
∴线段MN的垂直平分线方程为y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)，
取y=0，得x=

k2

3+4k2

，
∴P（

k2

3+4k2

，0），
则|PQ|=1-

k2

3+4k2

=

3(1+k2)

3+4k2

．
则

|PQ|

|MN|

=

3(1+k2) 3+4k2

12(1+k2) 3+4k2

=

1

4

为定值．

点评：本题主要考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，考查了弦长公式的应用，训练了学生的运算能力，属难题．