Question

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数T使得对任意的x∈M（M⊆D），有x+T∈D，且f（x+T）≥f（x），则称函数f（x）为M上的T高调函数．
（1）现给出下列命题：
①函数f（x）=log

1

2

x为（0，+∞）上的T高调函数；
②函数f（x）=sinx为R上的2π高调函数；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，+∞）．其中正确命题的序号是

 

；
（2）如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0 时，f（x）=|x²-a²|-a²，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（1）①利用函数的单调性，直接判断正误即可．
②由正弦函数知函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；
③函数f（x）=x²为[-1，+∞）上m高调函数，只有[-1，1]上至少需要加2．
（2）定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a²|-a²，画出函数图象，可得4≥3a²-（-a²）⇒-1≤a≤1．

解答： （1）解：对于①，∵f（x）=log

1

2

^x为减函数，函数f（x）=log

1

2

x不是（0，+∞）上的高调函数，∴①不正确；
对于②，∵sin（x+2π）≥sinx
∴函数f（x）=sinx为R上的2π高调函数，故②正确；
对于③，在[-1，+∞）上的任意x（设x=x+m）有y≥-1恒成立，则x+m≥-1恒成立，即m≥-1-x恒成立．
对于x∈[-1，+∞），当x=-1时-1-x最大为0，
∴m≥0．
又∵f（x+m）≥f（x），即（x+m）²≥x²在x∈[-1，+∞）上恒成立，化简得m²+2mx≥0，
又∵m≥0，故m+2x≥0即m≥-2x恒成立，当x=-1时-2x最大为2，
∴m≥2，即实数m的取值范围是[2，+∞），故③正确；
（2）解：f（x）=|x-a²|-a²的图象如图，∴4≥3a²-（-a²）⇒-1≤a≤1．
实数a的取值范围是[-1，1]．
故答案为：（1）②③；（2）[-1，1]．

点评：考查学生的阅读能力，很应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．