Question

已知函数f（x）=1-

5x•a

5x+1

，x∈（b-3，2b）是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）证明：f（x）是区间（b-3，2b）上的减函数；
（3）若f（m-1）+f（2m+1）＞0，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由于函数f（x）是奇函数，且f（0）有意义，则f（0）=0，定义域关于原点对称，列出方程，即可得到a，b；
（2）运用单调性的定义，注意作差、变形，同时运用指数函数的单调性，即可判断符号，得到结论成立；
（3）运用奇函数的定义和函数f（x）是区间（-2，2）上的减函数，得到不等式组，注意定义域的运用，解出它们即可得到范围．

解答： （1）解：∵函数f(x)=1-

a•5x

5x+1

，x∈（b-3，2b）是奇函数，
∴f(0)=1-

a

2

=0，且b-3+2b=0，
即a=2，b=1．
（2）证明：由（ I）得f(x)=1-

2•5x

5x+1

=

1-5x

5x+1

，x∈（-2，2），
设任意 x₁，x₂∈（-2，2）且x₁＜x₂，
∴f(x1)-f(x2)=

1-5x1

5x1+1

-

1-5x2

5x2+1

=

2(5x2-5x1)

(5x1+1)(5x2+1)

，
∵x₁＜x₂∴5x1＜5x2∴5x2-5x1＞0
又∵5x1+1＞0，5x2+1＞0
∴

2(5x2-5x1)

(5x1+1)(5x2+1)

＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）是区间（-2，2）上的减函数．
（3）解：∵f（m-1）+f（2m+1）＞0，
∴f（m-1）＞-f（2m+1）
∵f（x）奇函数∴f（m-1）＞f（-2m-1）
∵f（x）是区间（-2，2）上的减函数
∴

m-1＜-2m-1 -2＜m-1＜2 -2＜2m+1＜2

即有

m＜0 -1＜m＜3 - 3 2 ＜m＜ 1 2

∴-1＜m＜0，
则实数m的取值范围是（-1，0）．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性的定义和判断，以及运用解不等式，注意定义域，考查运算能力，属于中档题和易错题．