题目内容

如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度是5km/h，用t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离．

（1）请将t表示为x的函数t（x）；
（2）将船停在海岸处距点P多远时从小岛到城镇所花时间最短？最短时间是多少？
考点：解三角形的实际应用
专题：应用题,函数的性质及应用
分析：（1）根据总的时间t为驾船行驶的时间与步行到城镇的时间之和，分别表示出从小岛到Q点的时间为
x2+4
3
，
从Q点到城镇所需的时间为
12-x
5
，即可求得函数t（x），根据实际意义，求得定义域，从而得到答案；
（2）利用导数法，即可求得结论．
解答： 解：（1）总的时间t为驾船行驶的时间与步行到城镇的时间之和，
小岛到Q点的距离：
x2+4
，
∴从小岛到Q点的时间为：
x2+4
3
，
Q点到城镇的距离：12-x，
∴从Q点到城镇所需的时间为：
12-x
5
，
∴t（x）=
x2+4
3
+
12-x
5
，0≤x≤12；
（2）t′=
5x-3
x2+4
15
x2+4
，
令t′=0得x=1.5，
当x∈（0，1.5）时，t′＜0，t（x）单调递减； 当x∈（1.5，12）时，t′＞0，t（x）单调递增．
故当x=1.5时，t（x）最小，且最短时间为
44
15
h．
点评：本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知正实数a，b，c均不为1，ax=by=cz，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=0，则abc=
 
．
已知二项式（1+3x）n的各项系数和为256，则(
x
+
1
x
)n的常数项为
 
．
已知f（x）=
ax
ax+
a
，其中a＞0，a≠1，
（1）求证：函数f（x）的图象关于点（
1
2
，
1
2
）中心对称；
（2）求f（
1
10
）+f（
2
10
）+f（
3
10
）+…+f（
9
10
）的值．
若函数f（x）=
a
x+
1
2
+ln（x+
1
2
）-1在x∈[0，e]上有两个零点．求a的取值范围．
设函数f（x）=2x+
a
2x
-1（a为实数）．
（Ⅰ）当a=0时，求方程|f（x）|=1的根；
（Ⅱ）当a=-1时，
①若对于任意t∈（1，4]，不等式f（t2-2t）-f（2t2-k）＞0恒成立，求k的范围；
②设函数g（x）=2x+b，若对任意的x1∈[0，1]，总存在着x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2），求实数b的取值范围．
设定义在R上的函数f（x）对于任意x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在R上的单调性；
（3）当x∈[-2014，2014]，求函数f（x）的最大值．
已知数列{an}的通项公式为an=
3n
n+1
，
（1）求数列{an}的第3项、第10项、第100项；
（2）判断
20
7
，
25
8
是否为数列{an}中的项．
2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引起了海啸及核泄漏，某国际组织用分层抽样的方法从心理专家，核专家，地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见下表（单位：人）．
相关人员数抽取人数
心理专家24x
核专家48y
地质专家726
（Ⅰ）求研究团队的总人数；
（Ⅱ）若从研究团队的心理专家和核专家中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人为心理专家的概率．

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