Question

设函数f（x）=2^x+

a

2x

-1（a为实数）．
（Ⅰ）当a=0时，求方程|f（x）|=1的根；
（Ⅱ）当a=-1时，
①若对于任意t∈（1，4]，不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，求k的范围；
②设函数g（x）=2x+b，若对任意的x₁∈[0，1]，总存在着x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂），求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数恒成立问题,函数的零点与方程根的关系

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2^x-1，代入方程即可求解；
（Ⅱ）①当a=-1时，依据函数单调性，不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，可化为t²-2t＞2t²-k恒成立，从而转化为k＞（t²+2t）_max；
②该问题可转化为当x∈[0，1]时，f（x）的值域为g（x）值域的子集，利用单调性易求两函数值域，由集合包含关系可得到不等式组，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2^x-1，
由题意得|2^x-1|=1，
所以2^x-1=1或2^x-1=-1，
解得x=1．
（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=2x-

1

2x

-1，该函数在R上单调递增．
①不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，即f（t²-2t）＞f（2t²-k）恒成立，即t²-2t＞2t²-k，
从而k＞（t²+2t）_max，
又当t∈（1，4]时，（t²+2t）_max=4²+2×4=24，所以k＞24．
②当x∈[0，1]时，g（x）=2x+b的值域为[b，2+b]，
当x∈[0，1]时，f（x）=2x-

1

2x

-1的值域为[-1，

1

2

]，
根据题意可得[b，2+b]?[-1，

1

2

]，
从而

b+2≥ 1 2 b≤-1

解得-

3

2

≤b≤-1．
故实数b的取值范围为：-

3

2

≤b≤-1．

点评：本题考查指数方程的求解、函数恒成立及函数零点问题，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大．