Question

设定义在R上的函数f（x）对于任意x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在R上的单调性；
（3）当x∈[-2014，2014]，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0求出f（0）=0，再令y=-x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；
（2）设x₁＜x₂，结合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），由x＞0时，有f（x）＞0，可得f（x₂）＞f（x₁），证明函数在R上单调递减；
（3）再利用赋值法和条件，分别求出函数最大值和最小值．

解答： 解：（1）令x=y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x），
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数，
（2）设x₁＜x₂，令y=-x₁，x=x₂
则f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
因为x＞0时，f（x）＜0，
故f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上单调递减；
（3）f（x）在[-2014，2014]上单调递减，
∴x=-2014时，f（x）有最大值-2014f（1）=4028，
x=2014时，f（x）有最小值为f（2014）=-4028．

点评：本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的判断，以及函数最值，解此类题目，注意赋值法的运用．