Question

若{a_n}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有（　　）
（1）{a_n+3}；（2）{a_n²}；（3）{a_n+1-a_n}；（4）{2a_n}；（5）{2a_n+n}．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：利用等差数列的定义，对于各个选项中的数列，只要证明第n+1项与第n项的差是常数即可．

解答： 解：设等差数列{a_n}的公差为d，n≥2时，a_n-a_n-1=d，
（1）a_n+1+3-（a_n+3）=a_n+1-a_n=d为常数，因此{a_n+3}是等差数列；
（2）a_n+1²-a_n²=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=d[2a₁+（2n-1）d]不为常数，因此{a_n²}不是等差数列；
（3）（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=a_n+2-a_n=2d为常数，因此{a_n+1-a_n}是等差数列；
（4）2a_n+1-2a_n=2（a_n+1-a_n）=2d是常数，因此{2a_n}是等差数列；
（5）2a_n+1+（n+1）-（2a_n+n）=2（a_n+1-a_n）+1=2d+1是常数，因此{2a_n+n}是等差数列；
综上可知：只有（1）、（3）、（4）、（5）是等差数列，故4个，
故选：D．

点评：本题考查了等差数列的证明，正确运用等差数列的定义是关键．