Question

数列{a_n}中，a₁=1，它的前n项和为S_n，且

2Sn

(n+1)2

=

2Sn-1

n2

+

1

n(n+1)

（n≥2，n∈N^*）．
（1）证明：

4Sn

(n+1)2

+

2

n(n+1)

=1，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）当n＞1，n∈N^*时，证明：（1+

1

2a2-1

）（1+

1

2a3-1

）…（1+

1

2an-1

）＞

2an+1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的概念及简单表示法,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得

2Sn+(n+1)

2Sn-1+n

=(

n+1

n

)2，由此利用累乘法得：

2Sn+(n+1)

2S1

=(

n+1

2

)2，由此能证明

4Sn

(n+1)2

+

2

n+1

=1．由4S_n+2（n+1）=（n+1）²，能求出a_n=

1

2

n-

1

4

．
（2）由1+

1

2an-1

=1+

1

n- 1 2

=

2n+1

2n-1

，能证明（1+

1

2a2-1

）（1+

1

2a3-1

）…（1+

1

2an-1

）＞

2an+1

2

．

解答： （1）证明：∵

2Sn

(n+1)2

=

2Sn-1

n2

+

1

n(n+1)

（n≥2，n∈N^*），
∴

2Sn

(n+1)2

=

2Sn-1

n2

+

1

n

-

1

n+1

（n≥2，n∈N^*）．
∴

2Sn

(n+1)2

+

1

n+1

=

2Sn-1

n2

+

1

n

（n≥2，n∈N^*）．
∴

2Sn+(n+1)

(n+1)2

=

2Sn-1+n

n2

，
∴

2Sn+(n+1)

2Sn-1+n

=(

n+1

n

)2，

2Sn-1+n

2Sn-2+n-1

=(

n

n-1

)2，
…

2S2+3

2S1+2

=(

3

2

)2，
上式累乘，得：

2Sn+(n+1)

2S1

=(

n+1

2

)2，
又a₁=S₁=1，∴4S_n+2（n+1）=（n+1）²，
两边同时除以（n+1）²，得

4Sn

(n+1)2

+

2

n+1

=1．
∵4S_n+2（n+1）=（n+1）²，
∴4S_n=（n+1）²-2（n+1）=n²-1，①
4S_n-1=（n-1）²-1，②
①-②，得4a_n=n²-（n-1）²=2n-1，
∴a_n=

1

2

n-

1

4

．
（2）证明：∵1+

1

2an-1

=1+

1

n- 1 2

=

2n+1

2n-1

，
∴（1+

1

2a2-1

）（1+

1

2a3-1

）…（1+

1

2an-1

）
=

5

3

×

7

5

×

9

7

×…×

2n-1

2n-2

×

2n+1

2n-1

=

2n+1

3

＞

n+ 1 2

2

=

2an+1

2

．

点评：本题考查等式和不等式的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累乘法的合理运用．