Question

已知(

3	x

-

1

2 3 x

)n展开式中，第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是14：3．
（1）求n．
（2）求含x²项的系数．
（3）求展开式中所有有理项．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）由题意可得

C 4 n

C 2 n

=

14

3

，由此求得n的值．
（2）在(

3	x

-

1

2 3 x

)n 的开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，可得含x²项的系数．
（3）根据

10-2r

3

∈z，r∈N，0≤r≤10，可得r=2，5，8，从而求得展开式中的有理项．

解答： 解：（1）由题意可得

C 4 n

C 2 n

=

n(n-1)(n-2)(n-3) 4!

n(n-1) 2

=

(n-2)(n-3)

12

=

14

3

，解得n=10．
（2）由于(

3	x

-

1

2 3 x

)n=(

3	x

 -

1

2 3 x

)10，它的开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 10

•(-

1

2

)r•x

10-2r

3

，
令

10-2r

3

=2，求得r=2，∴含x²项的系数为

45

4

．
（3）根据

10-2r

3

∈z，r∈N，0≤r≤10，可得r=2，5，8，故第3、6、9项是有理项，
即有理项分别为

C

2 10

•(-

1

2

)2•x2、

C

5 10

•(-

1

2

)5、

C

8 10

•(-

1

2

)8•x-2．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．