Question

如图，已知正三角形PAD，正方形ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）求AD与CE所成角的余弦值；
（2）求直线AC与平面PCD所成的角的大小的正弦；
（3）求二面角B-PC-D的大小的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：（1）取AD的中点O，以OA为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与CE所成角的余弦值．（2）由已知得PO⊥平面ABCD，从而PO⊥CD，又CD⊥AD，从而CD⊥AE，由AE⊥PD，知∠ACE即为直线AC与平面PCD所成的角．由此能求出直线AC与平面PCD所成的角的大小的正弦值．
（3）求出平面PBC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角B-PC-D的大小的余弦值．

解答： 解：（1）取AD的中点O，由正△PAD可得PO⊥AD，
以OA为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=2，由题意得A（1，0，0），D（-1，0，0），B（2，2，0），
C（-1，2，0），P（0，0，

3

），E（-

1

2

，0，

3

2

），

AD

=（-2，0，0），

CE

=（

1

2

，-2，

3

2

），
|cos＜

AD

，

CE

＞|=|

-2× 1 2

2× 5

|=

5

10

．
∴AD与CE所成角的余弦值为

5

10

．
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥CD．
又∵CD⊥AD，PO∩AD=O，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE．
∵E为正三角形PAD的边PD的中点，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
∴∠ACE即为直线AC与平面PCD所成的角．
不妨设AD=2．
则AE=

3

，AC=2

2

．
∴sin∠ACE=

AE

AC

=

6

4

．
∴直线AC与平面PCD所成的角的大小的正弦值为

6

4

．
（3）

PD

=（-1，0，-

3

），

PB

=（2，2，-

3

），

PC

=（-1，2，-

3

），
设平面PBC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PB =2x+2y- 3 z=0 n • PC =-x+2y- 3 z=0

，
取y=

3

，得

n

=（0，

3

，2），
设平面PCD的法向量为

m

=（a，b，c），

m • PC =-a+2b- 3 c=0 m • PD =-a- 3 c=0

，
取a=

3

，得

m

=（

3

，0，-1），
|cos＜

n

，

m

＞|=|

-2

7 ×2

|=

7

7

．
∴二面角B-PC-D的大小的余弦值为

7

7

．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查直线与平面所成的角的大小的正弦值的求法，考查二面角的大小的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．