Question

已知A、B、C是△ABC的三个内角，a、b、c为其对应边，向量

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），且

m

•

n

=1
（1）求角A；
（2）若c=

5

，

cosB

cosC

=

b

c

，求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由向量和三角函数公式化简可得sin（A-

π

6

）=

1

2

，结合角A的范围可得A=

π

3

；
（2）由余弦定理可得

a2+c2-b2 2ac

a2+b2-c2 2ab

=

b

c

，变形整理可得b=c，可得△ABC为等边三角形且边长为

5

，由面积公式可得．

解答： 解：（1）∵

m

=（-1，

3

），

n

=（cosA，sinA），
∴

m

•

n

=

3

sinA-cosA=2sin（A-

π

6

）=1，∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，∴A=

π

3

；
（2）∵

cosB

cosC

=

b

c

，

a2+c2-b2 2ac

a2+b2-c2 2ab

=

b

c

，
变形整理可得b²=c²，∴b=c，
又∵A=

π

3

，∴△ABC为等边三角形，
又c=

5

，∴△ABC的面积S=

1

2

×（

5

）²×

3

2

=

5 3

4

点评：本题考查正余弦定理，涉及三角形的面积公式，属基础题．