Question

若函数f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|的最小值g（a）＞5．
（1）求g（a）的表达式；
（2）求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：由已知中f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

x2-x+a2+a+2，x＜1-a x2+x+a2+3a，x≥1-a

，分①当1-a≥

1

2

，即a≤

1

2

时，②当1-a≤-

1

2

，即a≥

3

2

时，③当-

1

2

＜1-a＜

1

2

，即

1

2

＜a＜

3

2

时，三种情况分别求出g（a）的表达式；
和满足条件的a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

x2-x+a2+a+2，x＜1-a x2+x+a2+3a，x≥1-a

，
①当1-a≥

1

2

，即a≤

1

2

时，
f（x）在x＜

1

2

时为减函数，在x＞

1

2

时为增函数，
故g（a）=f（

1

2

）=a²-a+

7

4

＞5，
解得：a＜

1- 14

2

；
②当1-a≤-

1

2

，即a≥

3

2

时，
f（x）在x＜-

1

2

时为减函数，在x＞-

1

2

时为增函数，
故g（a）=f（-

1

2

）=a²+3a-

1

4

＞5，
解得：a≥

3

2

，
③当-

1

2

＜1-a＜

1

2

，即

1

2

＜a＜

3

2

时，
f（x）在x＜1-a时为减函数，在x＞1-a时为增函数，
故g（a）=f（1-a）=2a²+2＞5，
解得：

6

2

＜a＜

3

2

，
（1）故g（a）=

a2-a+ 7 4 ，a≤ 1 2 2a2+2， 1 2 ＜a＜ 3 2 a2+3a- 1 4 ，a≥ 3 2

（2）a的取值范围为：（-∞，

1- 14

2

）∪（

6

2

，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，分段函数解析式的求法，运算量大，分类复杂，属于中档题．