Question

已知函数f（x）=x²-4ax+2a+6（x∈R）．
（1）求函数的最小值为0时的a的值；
（2）若函数f（x）的值均为非负值，求函数g（a）=2-a|a+3|的值域；
（3）若对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由△=0⇒2a²-a-3=0，解方程求出即可；
（2）由△≤0⇒-1≤a≤

3

2

，从而得到g（a）的定义域，根据二次函数的性质求出函数的值域；
（3）问题转化为?x∈[0，2]，f（x）_max-f（x）_min≤1，通过讨论a的范围，解不等式，求出即可．

解答： 解：（1）∵函数的值域为[0，+∞），
∴△=16a²-4（2a+6）=0⇒2a²-a-3=0∴a=-1或a=

3

2

；
（2）对一切x∈R，函数值均非负，
∴△=8（2a²-a-3）≤0⇒-1≤a≤

3

2

，∴a+3＞0，
∴g（a）=2-a（a+3）=-a²-3a+2=-（a+

3

2

）²+

17

4

（a∈[-1，

3

2

]）；
∵二次函数g（a）在[-1，

3

2

]上单调递减，
∴g（a）_min=f（

3

2

）=-

19

4

，g（a）_max=f（-1）=4，
∴g （a）的值域为[-

19

4

，4]；
（3）若对?x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1成立
??x∈[0，2]，f（x）_max-f（x）_min≤1，
a≤0时，f（x）_max-f（x）_min=f（2）-f（0）=4-8a≤1，解得：a≥

3

8

（舍），
0＜a≤

1

2

时，f（2）-f（2a）=4a²-8a+4≤1，解得：

1

2

≤a≤

3

2

，∴a=

1

2

，

1

2

＜a≤1时，f（0）-f（2a）=4a²≤1，解得：-

1

2

≤a≤

1

2

（舍），
a＞1时，f（0）-f（2）=8a-4≤1，解得：a≤

5

8

（舍），
综上：实数a的范围是{

1

2

}．

点评：本题考查了二次函数的性质，函数恒成立问题，考查了分类讨论思想，是一道中档题．