Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x，其中e是自然对数的底数
（1）判断函数f（x）在定义域R上的奇偶性，并证明；
（2）若关于x的不等式f（x）≥me^x在[-1，1]上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x₀∈[1，2]，使得e^x₀f（x₀）＜a成立，试判断log_a（-2t²+2t）的值的正负号，其中t∈（0，1）

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）在定义域R上的奇偶性；
（2）根据不等式恒成立，利用参数分离法进行转化即可得到结论．
（3）利用换元法，结合对数函数的单调性的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）函数的定义域为R．
则f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），
则函数f（x）在定义域R上的为减函数；
（2）若关于x的不等式f（x）≥me^x在[-1，1]上恒成立，
则e^x-e^-x≥me^x在[-1，1]上恒成立，
即m≤1-e^-2x=1-(

1

e2

)x在[-1，1]上恒成立，
设g（x）=1-(

1

e2

)x，则g（x）在[-1，1]上递增，
则当x=-1时，函数g（x）最小为g（-1）=1-e²，
则m≤1-e²，
即实数m的取值范围是（-∞，1-e²]；
（3）当x∈[1，2]，则e^x∈[e，e²]，
设u=e^x，则e^xf（x）=u（u-

1

u

）＜a，u∈[e，e²]，
即a＞u²-1恒成立，最大值为（e²）²-1=e⁴-1，
∴a＞e⁴-1，
故a＞1，log_a（-2t²+2t）=log_a[-2（t-

1

2

）²+

1

2

]，t∈（0，1），
则g（t）=-2（t-

1

2

）²+

1

2

在t=

1

2

时取得最大值为

1

2

，
∴log_ag（t）的最大值为log_a

1

2

＜0，
故log_a（-2t²+2t）＜0．

点评：本题主要考查函数恒成立问题，综合考查了对数函数和指数函数的单调性的应用，利用换元法是解决本题的关键．