Question

已知数列{a_n}满足，a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

，n≥1
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅
（2）猜测并证明数列{a_n}的通项公式
（3）证明a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1＜

1

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

，代入计算，可求a₂，a₃，a₄，a₅
（2）猜测a_n=

1

2n-1

，证明{

1

an

）是以1为首项，2为公差的等差数列，可得数列{a_n}的通项公式；
（3）利用裂项法求和，即可证明结论．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

，
∴a₂=

1

3

，a₃=

1

5

，a₄=

1

7

，a₅=

1

9

；
（2）猜想a_n=

1

2n-1

．
∵a_n+1=

an

2an+1

，
∴

1

an+1

-

1

an

=2，
∴{

1

an

）是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴

1

an

=2n-1，
∴a_n=

1

2n-1

；
（3）a_na_n+1=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

．

点评：本题考查数列和不等式的综合应用，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．