Question

已知点A是不等式组

x-3y+1≤0 x+y-3≤0 x≥1

所表示的平面区域内的一个动点，点B（-1，1），O为坐标原点，则

OA

•

OB

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：设A（x，y），z=

OA

•

OB

=-x+y，作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设A（x，y），z=

OA

•

OB

=-x+y，
由z=-x+y，得y=x+z表示，斜率为1纵截距为z的一组平行直线，
平移直线y=x+z，当直线y=x+z经过点D时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，
当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大，
由

x=1 x+y-3=0

，解得

x=1 y=2

，即B（1，2），此时z_max=-1+2=1．
由

x-3y+1=0 x+y-3=0

，解得

x=2 y=1

，即D（2，1）
此时z_min=-2+1=-1．
故-1≤z≤1，
故答案为：[-1，1]；

点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．