Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AB=1，BC=2，PD=

3

，G、F分别为AP、CD的中点．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求证：FG∥平面BCP．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出AD⊥CD，AD⊥PD，由此能证明AD⊥PC．
（2）取BP中点H，连接GH，CH，由此推导出四边形GFCH是平行四边形，从而能证明FG∥平面BCP．

解答： （1）证明：∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD，
∴PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，∴AD⊥PD，
∵CD∩PD=D，∴AD⊥平面PDC，
∵PC?平面ABCD，∴AD⊥PC．
（2）证明：取BP中点H，连接GH，CH，
∵G，F分别为AP，DC中点，
∴GH

∥

.

1

2

AB，FC

∥

.

1

2

AB，
∴GH

∥

.

FC，∴四边形GFCH是平行四边形，∴FG∥CH，CH?平面BCP，
FG不包含于平面BCP，∴FG∥平面BCP．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．