Question

如果函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）对任意的实数x，都有f（1+x）=4f（

x

2

）成立．
（1）求

b

a

，

c

a

的值；
（2）解关于x的不等式f（x）＜4a；
（3）若f（0）=1且关于α不等式f（sinα）≤sinα+m恒成立，求实数m取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据已知条件，代入得到x²+（2a+b）x+a²+b+c=ax²+2bx+4c，求出 a，b，c的值，继而求出答案．
（2）求出f（x），得到不等式，解得即可，
（3）f（sinα）≤sinα+m恒成立，即m≥sin²α+sinα+1，求出sin²α+sinα+1的最大值即可．

解答： 解：（1）∵f（1+x）=4f（

x

2

），
∴a（x+1）²+b（x+1）+c=4[a（

1

2

x）²+b（

1

2

x）+c，
整理得，x²+（2a+b）x+a²+b+c=ax²+2bx+4c，
∴2a+b=2b，a=1，a²+b+c=4c，
解得a=1，b=2，c=1，
∴

b

a

=2，

c

a

=1；
（2）∵f（x）=ax²+bx+c，f（x）＜4a；
∴ax²+bx+c＜4a；
由（1）得，a=1，b=2，c=1，
∴x²+2x-3＜0，
解得-3＜x＜1，
∴a＞0时，f（x）的解集为（-3，1）
（3）由（1）得，f（x）=x²+2x+1（a＞0），f（0）=1，
∵f（sinα）≤sinα+m恒成立，
∴sin²α+2sinα+1）≤sinα+m，
∴m≥sin²α+sinα+1=（sinα+

1

2

）²+

3

4

，
∵sinα∈[-1，1]，
∴当sinα=1，sin²α+sinα+1有最大值，最大值为3，
∴当m≥3时不等式f（sinα）≤sinα+m恒成立，
故实数m取值范围为[3，+∞）．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．